√x²+3x+2≥3-x

Для решения неравенства $$\sqrt{x^2 + 3x + 2} \ge 3 - x$$ выполним следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • Под корнем должно быть неотрицательное выражение: $$x^2 + 3x + 2 \ge 0$$.
   • Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 3x + 2 = 0$$.
   • $$D = (3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$.
   • Корни: $$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$ и $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$.
   • Следовательно, $$x^2 + 3x + 2 \ge 0$$ при $$x \le -2$$ или $$x \ge -1$$.
2. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: $$3 - x < 0$$, то есть $$x > 3$$. В этом случае неравенство выполняется автоматически, так как корень всегда неотрицателен. Следовательно, $$x > 3$$ является решением.
   • Случай 2: $$3 - x \ge 0$$, то есть $$x \le 3$$. В этом случае возведем обе части неравенства в квадрат:
     • $$(\sqrt{x^2 + 3x + 2})^2 \ge (3 - x)^2$$
     • $$x^2 + 3x + 2 \ge 9 - 6x + x^2$$
3. Упростим неравенство:
   • $$3x + 2 \ge 9 - 6x$$
   • $$9x \ge 7$$
   • $$x \ge \frac{7}{9}$$
4. Учитываем ОДЗ ( x≤3 x \le 3):
   • $$x \le -2$$ или $$x \ge -1$$.
   • Из $$x \ge \frac{7}{9}$$ получаем $$x \ge \frac{7}{9}$$.
   • Из x≤3 x \le 3 получаем $$x \le 3$$
   • Получаем $$\frac{7}{9} \le x \le 3$$.

Объединим оба случая:

• $$x > 3$$ или $$\frac{7}{9} \le x \le 3$$
• $$\frac{7}{9} \le x$$

Учитываем ОДЗ (x≤−2 x \le -2 или x≥−1 x \ge -1):

• Решением будет $$x \ge \frac{7}{9}$$.

Ответ: $$x \ge \frac{7}{9}$$