√x²-5x+6≤x+4

Для решения неравенства $$\sqrt{x^2-5x+6} \le x+4$$ выполним следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$x^2-5x+6 \ge 0$$.
   • Найдем корни $$x^2-5x+6 = 0$$.
   • $$D = 25 - 4\cdot 6 = 1$$.
   • $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$, $$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$.
   • Значит, $$x \le 2$$ или $$x \ge 3$$.
2. Рассмотрим случаи:
   • Корень всегда неотрицателен, значит и вторая часть $$x+4$$ должна быть неотрицательна, то есть $$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$$.
   • Учитывая $$x \le 2$$ или $$x \ge 3$$, получаем, что $$x \in [-4; 2] \cup [3; +\infty)$$.
   • Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем обе части в квадрат:
     
   • $$x^2-5x+6 \le x^2 + 8x + 16$$.
     
   • $$-5x + 6 \le 8x + 16$$.
     
   • $$13x \ge -10$$.
     
   • $$x \ge -\frac{10}{13}$$.
     
3. Учитываем ОДЗ и ограничения:
   • Из ОДЗ $$x \le 2$$ или $$x \ge 3$$.
   • Учитывая $$x \ge -\frac{10}{13}$$, получаем $$x \in [-\frac{10}{13}; 2] \cup [3; +\infty)$$.

Ответ: $$\left[-\frac{10}{13}; 2\right] \cup [3;+\infty)$$