8. Найдите значение выражения \((\frac{ab}{a+b}):(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\) при a = \(\sqrt{8}\) + 7, b = \(\sqrt{8}\) – 2.

Упростим выражение:

\((\frac{ab}{a+b}):(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) = \frac{ab}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{ab}{a+b}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2} = \frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+b^2)}\)

Подставим значения:

a = \(\sqrt{8}\) + 7, b = \(\sqrt{8}\) – 2

\(a^2 = (\sqrt{8}+7)^2 = 8+14\sqrt{8}+49 = 57+14\sqrt{8}\)

\(b^2 = (\sqrt{8}-2)^2 = 8-4\sqrt{8}+4 = 12-4\sqrt{8}\)

\(a^2b^2 = (57+14\sqrt{8})(12-4\sqrt{8}) = 684 - 228\sqrt{8} + 168\sqrt{8} - 56\cdot8 = 684-448-60\sqrt{8} = 236 - 60\sqrt{8}\)

\(a+b = \sqrt{8}+7 + \sqrt{8}-2 = 5 + 2\sqrt{8}\)

\(a^2+b^2 = 57+14\sqrt{8} + 12-4\sqrt{8} = 69+10\sqrt{8}\)

\((a+b)(a^2+b^2) = (5 + 2\sqrt{8})(69+10\sqrt{8}) = 345+50\sqrt{8}+138\sqrt{8}+160 = 505 + 188\sqrt{8}\)

Выражение = \(\frac{236 - 60\sqrt{8}}{505 + 188\sqrt{8}}\) - сложно упростить дальше без калькулятора.

Ответ: \(\frac{236 - 60\sqrt{8}}{505 + 188\sqrt{8}}\)