9) cos 2x + sin²x + sin x = 1/4

Решение: $$cos 2x + sin^2x + sin x = \frac{1}{4}$$ $$cos^2x - sin^2x + sin^2x + sin x = \frac{1}{4}$$ $$cos^2x + sin x = \frac{1}{4}$$ $$1 - sin^2x + sin x = \frac{1}{4}$$ $$sin^2x - sin x - \frac{3}{4} = 0$$ Пусть $$t = sin x$$, тогда: $$t^2 - t - \frac{3}{4} = 0$$ $$4t^2 - 4t - 3 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64$$ $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$ Если $$sin x = \frac{3}{2}$$ - нет решений, так как $$|sin x| \le 1$$ Если $$sin x = -\frac{1}{2}$$: $$x = (-1)^k arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$