ABCDA, B, C, D, - параллелепипед. Разложите вектор СА, по векторам СВ,CD,CC,

Решение:

Дан параллелепипед ABCDA,B,C,D,. Нам нужно разложить вектор \( \vec{CA} \) по векторам \( \vec{CB} \), \( \vec{CD} \) и \( \vec{CC_1} \).

Рассмотрим параллелограмм ABCD. По правилу вычитания векторов:

\( \vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD} \) (если речь идет о диагонали AC paralelogramma ABDC, но нам нужно CA).

\( \vec{CA} = \vec{DA} - \vec{DC} \).

\( \vec{CA} = \vec{BA} - \vec{BC} \).

Рассмотрим диагональ \( \vec{AC} \) параллелограмма ABCD. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \).

Вектор \( \vec{CA} \) равен \( -\vec{AC} \).

\( \vec{CA} = -(\vec{AB} + \vec{AD}) \) = \( -\vec{AB} - \vec{AD} \).

Поскольку ABCDA,B,C,D, — параллелепипед:

• \( \vec{AB} = \vec{DC} \)
• \( \vec{AD} = \vec{BC} \)
• \( \vec{CC_1} \) - это вектор, задающий высоту.

Вектор \( \vec{CA} \) лежит в плоскости основания. Поэтому для его разложения по \( \vec{CB} \), \( \vec{CD} \) и \( \vec{CC_1} \) нам понадобятся только векторы, лежащие в плоскости основания.

\( \vec{CB} = -\vec{BC} \).

\( \vec{CD} \).

\( \vec{CA} = \alpha \vec{CB} + \beta \vec{CD} + \gamma \vec{CC_1} \).

Так как \( \vec{CA} \) лежит в плоскости основания, а \( \vec{CC_1} \) перпендикулярен этой плоскости (если это прямой параллелепипед, или просто не лежит в плоскости основания, если наклонный), то коэффициент \( \gamma \) должен быть равен 0, если \( \vec{CC_1} \) не компланарен \( \vec{CA} \).

Рассмотрим разложение \( \vec{CA} \) по векторам \( \vec{CB} \) и \( \vec{CD} \).

\( \vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CB} - \vec{AB} \).

\( \vec{CA} = \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{CD} - \vec{AD} \).

\( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \).

\( \vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{AB} + \vec{AD}) = -\vec{DC} - \vec{BC} \).

Нам нужно разложить \( \vec{CA} \) по \( \vec{CB} \) и \( \vec{CD} \).

\( \vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA} \). Поскольку \( \vec{BA} \) противонаправлен \( \vec{CD} \), то \( \vec{BA} = - \vec{CD} \).

\( \vec{CA} = \vec{CB} - \vec{CD} \).

Теперь добавим вектор \( \vec{CC_1} \). Так как \( \vec{CA} \) лежит в плоскости основания, а \( \vec{CC_1} \) перпендикулярен ей (в случае прямого параллелепипеда) или не лежит в той же плоскости, то для разложения \( \vec{CA} \) по \( \vec{CB} \), \( \vec{CD} \) и \( \vec{CC_1} \), коэффициент при \( \vec{CC_1} \) должен быть равен 0, если \( \vec{CC_1} \) не компланарен \( \vec{CA} \).

\( \vec{CA} = \alpha \vec{CB} + \beta \vec{CD} + \gamma \vec{CC_1} \).

Если \( \vec{CC_1} \) не компланарен \( \vec{CA} \), то \( \gamma = 0 \).

\( \vec{CA} = \vec{CB} - \vec{CD} \).

Здесь \( \alpha = 1 \) и \( \beta = -1 \).

Ответ: \( \vec{CA} = 1 \cdot \vec{CB} - 1 \cdot \vec{CD} + 0 \cdot \vec{CC_1} \)