95. Докажите, что дробь \( \frac{3762}{10^3 - 1} \) сократима.

Решение:

Знаменатель дроби: \( 10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999 \).

Число 999 делится на 3 (сумма цифр 9+9+9=27, делится на 3) и на 9 (сумма цифр делится на 9). Также 999 делится на 37 (999 = 27 * 37).

Проверим числитель: \( 3762 \). Сумма цифр \( 3+7+6+2 = 18 \). Так как сумма цифр делится на 9, то и число 3762 делится на 9.

\( 3762 : 9 = 418 \).

\( 999 : 9 = 111 \).

Таким образом, дробь \( \frac{3762}{999} = \frac{418}{111} \) сократима на 9.

Число 111 делится на 3 (1+1+1=3). \( 111 : 3 = 37 \).

Число 418 делится на 2 (оканчивается на 8). \( 418 : 2 = 209 \).

Проверим, делится ли 418 на 37. \( 418 = 370 + 48 \), не делится. Проверим, делится ли 209 на 37. \( 209 = 5 \cdot 37 + 24 \), не делится.

Однако, мы уже доказали, что дробь сократима на 9.

Вывод: Дробь \( \frac{3762}{10^3 - 1} \) сократима, так как и числитель (3762), и знаменатель (999) делятся на 9.