9)y = √x(2x + 8)

Решение:

Найдём производную функции \( y = \sqrt{x}(2x + 8) \) с помощью правила умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{\frac{1}{2}} \).

Пусть \( u = x^{\frac{1}{2}} \) и \( v = 2x + 8 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

\( v' = (2x + 8)' = 2 \)

Теперь применим правило умножения:

\( y' = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) (2x + 8) + (\sqrt{x}) (2) \)

Упростим выражение:

\( y' = \frac{2x}{2\sqrt{x}} + \frac{8}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} \)

\( y' = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} \)

\( y' = \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} \)

\( y' = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \)

Ответ: \( y' = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \).