14)y = \(\frac{ctgx}{6x^2}\)

Решение:

Найдём производную функции \( y = \frac{\cot{x}}{6x^2} \) с помощью правила частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = \cot{x} \) и \( v = 6x^2 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (\cot{x})' = -\csc^2{x} \)

\( v' = (6x^2)' = 6 \cdot 2 x^{2-1} = 12x \)

Теперь применим правило частного:

\( y' = \frac{(-\csc^2{x})(6x^2) - (\cot{x})(12x)}{(6x^2)^2} \)

Раскроем числитель:

\( y' = \frac{-6x^2\csc^2{x} - 12x\cot{x}}{36x^4} \)

Разделим каждый член числителя на \( 36x^4 \):

\( y' = \frac{-6x^2\csc^2{x}}{36x^4} - \frac{12x\cot{x}}{36x^4} \)

\( y' = -\frac{\csc^2{x}}{6x^2} - \frac{\cot{x}}{3x^3} \)

Ответ: \( y' = -\frac{\csc^2{x}}{6x^2} - \frac{\cot{x}}{3x^3} \).