13)y = \(\frac{5√x}{x^2-1}\)

Решение:

Найдём производную функции \( y = \frac{5\sqrt{x}}{x^2-1} \) с помощью правила частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Перепишем \( 5\sqrt{x} \) как \( 5x^{\frac{1}{2}} \).

Пусть \( u = 5x^{\frac{1}{2}} \) и \( v = x^2 - 1 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (5x^{\frac{1}{2}})' = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{5}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} \)

\( v' = (x^2 - 1)' = 2x \)

Теперь применим правило частного:

\( y' = \frac{\left( \frac{5}{2\sqrt{x}} \right) (x^2 - 1) - (5\sqrt{x}) (2x)}{(x^2 - 1)^2} \)

Раскроем числитель:

\( y' = \frac{\frac{5(x^2 - 1)}{2\sqrt{x}} - 10x\sqrt{x}}{(x^2 - 1)^2} \)

Приведём числитель к общему знаменателю \( 2\sqrt{x} \):

\( y' = \frac{\frac{5(x^2 - 1) - 10x\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x^2 - 1)^2} \)

\( y' = \frac{5x^2 - 5 - 20x^2}{2\sqrt{x}(x^2 - 1)^2} \)

\( y' = \frac{-15x^2 - 5}{2\sqrt{x}(x^2 - 1)^2} \)

Вынесем \( -5 \) из числителя:

\( y' = \frac{-5(3x^2 + 1)}{2\sqrt{x}(x^2 - 1)^2} \)

Ответ: \( y' = \frac{-15x^2 - 5}{2\sqrt{x}(x^2 - 1)^2} \).