12)y = \(\frac{4x^3}{3x-9}\)

Решение:

Найдём производную функции \( y = \frac{4x^3}{3x-9} \) с помощью правила частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 4x^3 \) и \( v = 3x - 9 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (4x^3)' = 4 \cdot 3 x^{3-1} = 12x^2 \)

\( v' = (3x - 9)' = 3 \)

Теперь применим правило частного:

\( y' = \frac{(12x^2)(3x - 9) - (4x^3)(3)}{(3x - 9)^2} \)

Раскроем числитель:

\( y' = \frac{36x^3 - 108x^2 - 12x^3}{(3x - 9)^2} \)

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\( y' = \frac{24x^3 - 108x^2}{(3x - 9)^2} \)

Можно вынести общий множитель \( 12x^2 \) из числителя:

\( y' = \frac{12x^2(2x - 9)}{(3(x - 3))^2} = \frac{12x^2(2x - 9)}{9(x - 3)^2} = \frac{4x^2(2x - 9)}{3(x - 3)^2} \)

Ответ: \( y' = \frac{24x^3 - 108x^2}{(3x - 9)^2} = \frac{4x^2(2x - 9)}{3(x - 3)^2} \).