9. Решите неравенство (методом интервалов) (x-7)(x+2) / (3x-4) ≤ 0

Решение:

Найдём корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( (x-7)(x+2) = 0 \) ⇒ \( x = 7 \) или \( x = -2 \).
• Знаменатель: \( 3x-4 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{4}{3} \). Знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -2, \frac{4}{3}, 7 \). Эти точки разбивают прямую на 4 интервала:

1. \( (-\infty, -2] \): Возьмём \( x = -3 \). \( \frac{(-3-7)(-3+2)}{3(-3)-4} = \frac{(-10)(-5)}{-9-4} = \frac{50}{-13} < 0 \). Интервал подходит.

2. \( [-2, \frac{4}{3}) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{(0-7)(0+2)}{3(0)-4} = \frac{(-7)(2)}{-4} = \frac{-14}{-4} = 3.5 > 0 \). Интервал не подходит.

3. \( (\frac{4}{3}, 7] \): Возьмём \( x = 1 \). \( \frac{(1-7)(1+2)}{3(1)-4} = \frac{(-6)(3)}{-1} = \frac{-18}{-1} = 18 > 0 \). Интервал не подходит.

4. \( [7, \infty) \): Возьмём \( x = 8 \). \( \frac{(8-7)(8+2)}{3(8)-4} = \frac{(1)(10)}{24-4} = \frac{10}{20} = 0.5 > 0 \). Интервал не подходит.

Ответ: \( x \in (-\infty, -2] \)