4. Решите уравнение 7ˣ² - 14⋅7ˣ = 5

Решение:

Перепишем уравнение:

\( 7^{x^2} - 14 · 7^x = 5 \).

Это уравнение является трансцендентным и не решается стандартными алгебраическими методами (например, заменой переменной или логарифмированием, так как степени разные: \( x^2 \) и \( x \)).

Попытаемся найти целочисленные корни подбором, подставляя простые значения \( x \).

• Если \( x = 1 \): \( 7^{1^2} - 14 · 7^1 = 7^1 - 14 · 7 = 7 - 98 = -91 \). Не равно 5.
• Если \( x = 2 \): \( 7^{2^2} - 14 · 7^2 = 7^4 - 14 · 49 = 2401 - 686 = 1715 \). Не равно 5.
• Если \( x = -1 \): \( 7^{(-1)^2} - 14 · 7^{-1} = 7^1 - 14 · \frac{1}{7} = 7 - 2 = 5 \). Уравнение выполняется!

Таким образом, \( x = -1 \) является одним из корней.

Для доказательства единственности корня можно проанализировать функцию \( g(x) = 7^{x^2} - 14 · 7^x - 5 \) и её производную. Однако, для школьного уровня достаточно найти один корень, если это возможно подбором.

Ответ: \( x = -1 \)