9. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( s(t) = -4t^3 + 2t^2 - 6 \) (время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от закона движения \( s(t) \) по времени \( t \).

\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(-4t^3 + 2t^2 - 6) \]

\[ v(t) = -12t^2 + 4t \]

Чтобы найти момент времени, когда скорость наименьшая, нужно найти минимум функции \( v(t) \). Для этого найдем вторую производную (ускорение) \( a(t) = v'(t) \):

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-12t^2 + 4t) = -24t + 4 \]

Приравниваем ускорение к нулю, чтобы найти точки экстремума:

\[ -24t + 4 = 0 \]

\[ 24t = 4 \]

\[ t = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \) секунд.

Теперь нужно проверить, является ли это минимум скорости. Для этого рассмотрим вторую производную от \( v(t) \), то есть \( v''(t) = a'(t) \):

\[ v''(t) = a'(t) = \frac{d}{dt}(-24t + 4) = -24 \]

Так как \( v''(t) = -24 < 0 \) для любого \( t \), это означает, что точка \( t = \frac{1}{6} \) является точкой максимума скорости, а не минимума.

Функция скорости \( v(t) = -12t^2 + 4t \) — это парабола ветвями вниз. Минимальное значение скорости будет стремиться к \( -\infty \) при \( t \to \infty \). Однако, в задачах такого типа обычно предполагается, что время \( t \ge 0 \).

Если задача подразумевает нахождение наименьшей скорости в физическом смысле, то скорость может быть отрицательной (движение в обратном направлении). В таком случае, наименьшей скоростью будет самое большое отрицательное значение. Так как парабола \( v(t) = -12t^2 + 4t \) имеет максимум, а не минимум, и ветви идут вниз, то наименьшей скорости, стремящейся к \( -\infty \), нет.

Возможно, в условии опечатка, и должно быть 'наибольшую скорость' или другая функция.

Если предположить, что речь идет о наименьшем по модулю значении скорости (т.е. о скорости, близкой к нулю), то мы находим корни \( v(t) = 0 \):

\[ -12t^2 + 4t = 0 \]

\[ -4t(3t - 1) = 0 \]

\[ t = 0 \) или \( 3t - 1 = 0 \) => \( t = \frac{1}{3} \).

В момент \( t = 0 \), скорость равна 0. В момент \( t = \frac{1}{3} \), скорость равна 0.

Если же вопрос стоит о наименьшей скорости, как наименьшее числовое значение, то оно стремится к минус бесконечности, т.е. не существует.

Если предположить, что имелось в виду, когда ускорение равно нулю, то это \( t = 1/6 \), и скорость в этот момент равна:

\[ v\(\frac{1}{6}\) = -12\(\frac{1}{6}\)^2 + 4\(\frac{1}{6}\) = -12\(\frac{1}{36}\) + \(\frac{4}{6}\) = -\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\) \) м/с.

Это максимум скорости, а не минимум.

В условиях задачи, скорее всего, опечатка. Если считать, что вопрос именно о наименьшей скорости, то такой точки нет.

Ответ: Наименьшей скорости не существует.