8. Найдите все корни уравнения \( \log_3 (3-x) + \log_3 (4-x) = 1 + 2\log_3 2 \).

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\( 3-x > 0 \) => \( x < 3 \)

\( 4-x > 0 \) => \( x < 4 \)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x < 3 \).

Теперь преобразуем уравнение:

\[ \log_3 (3-x) + \log_3 (4-x) = 1 + \log_3 2^2 \]

\[ \log_3 ((3-x)(4-x)) = 1 + \log_3 4 \]

\[ \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 3 + \log_3 4 \]

\[ \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 (3 \cdot 4) \]

\[ \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 12 \]

Приравниваем аргументы логарифмов:

\[ (3-x)(4-x) = 12 \]

\[ 12 - 3x - 4x + x^2 = 12 \]

\[ x^2 - 7x + 12 = 12 \]

\[ x^2 - 7x = 0 \]

\[ x(x - 7) = 0 \]

Получаем два возможных корня: \( x = 0 \) или \( x = 7 \).

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ \( x < 3 \).

\( x = 0 \): \( 0 < 3 \). Этот корень подходит.

\( x = 7 \): \( 7 \not< 3 \). Этот корень не подходит.

Ответ: x = 0.