7. Решите уравнение \( 8 \sin^2 x + 6 \sin x + 1 = 0 \).

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 8t^2 + 6t + 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \):

1) \( \sin x = -\frac{1}{4} \)

Решения этого уравнения: \( x = \arcsin(-\frac{1}{4}) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Так как \( \arcsin(-y) = -\arcsin(y) \), то:

\( x = -\arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k \) и \( x = \pi + \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k \)

2) \( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения:

\( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -\arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k \), \( x = \pi + \arcsin(\frac{1}{4}) + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).