10. Площадь основания АВС правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна √3. Через прямую АС проведена секущая плоскость, пересекающая ребро ВВ₁ в точке К и составляющая с прямой АС угол, равный arcsin 1/4. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника АКС. В ответе запишите значение выражения 8√3R.

Решение:

1. Площадь основания и параметры призмы:

Основание — правильный треугольник \( \triangle ABC \). Его площадь \( S_{осн} = \sqrt{3} \).

Формула площади правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — сторона основания.

\[ \sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

\[ 1 = \frac{a^2}{4} \]

\[ a^2 = 4 \]

\[ a = 2 \) см (так как длина стороны положительна).

Итак, сторона основания \( a = 2 \) см.

2. Секущая плоскость и угол:

Секущая плоскость проходит через \( AC \) и точку \( K \) на ребре \( BB_1 \). Угол между плоскостью \( AKC \) и плоскостью основания \( ABC \) равен \( \arcsin(\frac{1}{4}) \).

В правильной треугольной призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям. \( BB_1 \perp \triangle ABC \).

Пусть \( O \) — центр основания \( \triangle ABC \). Тогда \( KO \) — высота призмы \( H \).

Угол между плоскостью \( AKC \) и плоскостью основания \( ABC \) — это угол между прямой \( BK \) (или \( KK' \) где \( K' \) проекция \( K \) на \( AC \)) и плоскостью основания.

В данном случае, удобнее рассмотреть угол между прямой \( BK \) и плоскостью \( ABC \), который равен \( \angle BK O \), где \( O \) — центр основания \( \triangle ABC \).

Угол между плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) — это угол между \( BK \) и \( AC \), который, по условию, равен \( \arcsin(\frac{1}{4}) \). Это угол между прямой \( BK \) и плоскостью \( ABC \).

Пусть \( M \) — середина \( AC \). Тогда \( BM \) — медиана и высота \( \triangle ABC \).

\[ BM = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см.

\( O \) — точка пересечения медиан, поэтому \( BO = \frac{2}{3} BM = \frac{2}{3} \sqrt{3} \) и \( OM = \frac{1}{3} BM = \frac{1}{3} \sqrt{3} \).

Угол между секущей плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) — это угол между \( BK \) (проекция \( BK \) на \( ABC \) — это \( BO \)) и \( AC \).

Рассмотрим треугольник \( BOK \), где \( K \) лежит на \( BB_1 \). \( BO \) — проекция \( BK \) на основание. Угол между секущей плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) — это угол между \( KO \) (высота призмы) и \( OK \) (расстояние от центра основания до стороны \( AC \) -- это \( OM \)).

Угол между плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) равен углу между \( KO \) и \( OM \) (если \( OM \perp AC \)), или между \( KO \) и \( BO \) (если \( OB \perp AC \)).

В правильной призме \( BB_1 \perp \triangle ABC \). \( K \) на \( BB_1 \). \( AC \) — сторона основания. \( AC \perp BM \).

Угол между секущей плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) — это угол между \( BK \) и \( AC \).

Рассмотрим \( \triangle BKM \), где \( M \) — середина \( AC \). \( BM \) — высота основания. \( KM \) — высота сечения \( AKC \).

Угол между плоскостью \( AKC \) и плоскостью \( ABC \) равен углу \( \angle BMO \) (если \( O \) — центр основания), но это не так.

Угол между плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) равен углу между \( KM \) и \( BM \), где \( M \) — середина \( AC \). Этот угол равен \( \angle KMB \).

Угол между плоскостью \( AKC \) и основанием \( ABC \) равен \( \arcsin(\frac{1}{4}) \). Этот угол является углом между \( KM \) и \( BM \), где \( M \) — середина \( AC \).

\[ \angle KMB = \arcsin(\frac{1}{4}) \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle KMB \) (угол \( M = 90^{\circ} \) т.к. \( BM \perp AC \) и \( KM \perp AC \)):

\[ \text{tg}(\angle KMB) = \frac{KM}{BM} \]

\[ \text{tg}(\arcsin(\frac{1}{4})) = \frac{KM}{\sqrt{3}} \]

Найдем \( \text{tg}(\arcsin(\frac{1}{4})) \). Пусть \( \alpha = \arcsin(\frac{1}{4}) \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \).

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \).

\( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \) (так как \( \alpha \) — угол из \( \arcsin \), \( \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \), \( \cos \alpha \ge 0 \)).

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{KM}{\sqrt{3}} \]

\[ KM = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{3}{15}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \) см.

\( KM \) — это высота призмы \( H \).

3. Радиус описанной окружности \( \triangle AKC \):

\( \triangle AKC \) — равнобедренный, так как \( AK = KC \) (боковые грани призмы — прямоугольники, \( AB=BC=2 \), \( AK=KC \) т.к. \( K \) на \( BB_1 \) и \( AB=BC \)).

Стороны \( AK \) и \( KC \) равны \( \sqrt{KM^2 + AM^2} \) или \( \sqrt{KM^2 + CM^2} \), где \( AM = CM = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

\[ AK = KC = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{5} + 1} = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5} \) см.

Основание \( AC = 2 \) см.

Радиус описанной окружности \( \triangle AKC \) по формуле \( R_{\triangle} = \frac{abc}{4S} \).

Площадь \( \triangle AKC \) равна \( S_{\triangle AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \) см².

Теперь найдем радиус \( R \) описанной окружности \( \triangle AKC \):

\[ R = \frac{AK \cdot KC \cdot AC}{4 \cdot S_{\triangle AKC}} = \frac{(\frac{\sqrt{30}}{5}) \cdot (\frac{\sqrt{30}}{5}) \cdot 2}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} \]

\[ R = \(\frac{\frac{30}{25} \cdot 2}{\frac{4}{\sqrt{5}}}\) = \(\frac{\frac{60}{25}}{\frac{4}{\sqrt{5}}}\) = \(\frac{\frac{12}{5}}{\frac{4}{\sqrt{5}}}\) = \(\frac{12}{5}\) \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{5}}{4}\) = \(\frac{3 \sqrt{5}}{5}\) \) см.

4. Вычисление значения выражения \( 8\sqrt{3}R \):

\[ 8\(\sqrt{3}\)R = 8\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) \(\frac{3 \sqrt{5}}{5}\) = \(\frac{24 \sqrt{15}}{5}\) \).

Проверка: Угол между плоскостью AKC и основанием ABC. Проекция точки K на основание - точка B. Отрезок AC. Точка M - середина AC. OM = sqrt(3)/3. BM = sqrt(3). BO=2*sqrt(3)/3. KM - высота призмы.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами к линии пересечения AC. KM перпендикулярен AC. BM перпендикулярен AC. Угол между KM и BM = angle KMB.

angle KMB = arcsin(1/4). BM = sqrt(3).

tan(angle KMB) = KM/BM. tan(arcsin(1/4)) = 1/sqrt(15). KM = BM * tan(arcsin(1/4)) = sqrt(3) * (1/sqrt(15)) = sqrt(3/15) = sqrt(1/5) = 1/sqrt(5).

AK = KC = sqrt(KM^2 + AM^2) = sqrt((1/sqrt(5))^2 + 1^2) = sqrt(1/5 + 1) = sqrt(6/5).

AC = 2.

S_AKC = 1/2 * AC * KM = 1/2 * 2 * (1/sqrt(5)) = 1/sqrt(5).

R = (AK * KC * AC) / (4 * S_AKC) = (sqrt(6/5) * sqrt(6/5) * 2) / (4 * 1/sqrt(5)) = (6/5 * 2) / (4/sqrt(5)) = (12/5) / (4/sqrt(5)) = (12/5) * (sqrt(5)/4) = 3*sqrt(5)/5.

8 * sqrt(3) * R = 8 * sqrt(3) * (3*sqrt(5)/5) = 24*sqrt(15)/5.

Ответ: \( \frac{24 \sqrt{15}}{5} \).