5. Найдите, при каких значениях аргумента график функции \( y = 3^{2x+1} + 2^{x+3} \) расположен выше прямой \( y = 14 \).

Решение:

Нам нужно решить неравенство \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} > 14 \).

Перепишем выражение:

\( 3^{2x} · 3^1 + 2^x · 2^3 > 14 \)

\( 3 · (3^x)^2 + 8 · 2^x > 14 \)

Попробуем подобрать значения \( x \).

Если \( x = 1 \):

\( 3^{2(1)+1} + 2^{1+3} = 3^3 + 2^4 = 27 + 16 = 43 \). \( 43 > 14 \), значит, \( x=1 \) подходит.

Если \( x = 0 \):

\( 3^{2(0)+1} + 2^{0+3} = 3^1 + 2^3 = 3 + 8 = 11 \). \( 11 < 14 \), значит, \( x=0 \) не подходит.

Если \( x = -1 \):

\( 3^{2(-1)+1} + 2^{-1+3} = 3^{-1} + 2^2 = \frac{1}{3} + 4 = 4\frac{1}{3} \). \( 4\frac{1}{3} < 14 \), значит, \( x=-1 \) не подходит.

Рассмотрим функцию \( f(x) = 3^{2x+1} + 2^{x+3} \). Это сумма показательных функций с основаниями больше 1, поэтому функция является возрастающей. Следовательно, если при \( x=1 \) значение функции больше 14, то при всех \( x > 1 \) оно также будет больше 14.

Чтобы найти точное значение \( x \), при котором \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} = 14 \), нужно решать трансцендентное уравнение, что обычно делается численными методами или подбором.

Поскольку \( x=1 \) является решением, и функция возрастает, то график будет выше прямой \( y=14 \) для всех \( x \) больших, чем корень уравнения \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} = 14 \).

Нет простого аналитического способа решить \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} = 14 \) без численных методов. Однако, если посмотреть на варианты ответов, которые обычно присутствуют в таких задачах, можно предположить, что ищется диапазон. Так как \( x=0 \) дает 11, а \( x=1 \) дает 43, то корень уравнения \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} = 14 \) находится между 0 и 1.

Ответ: x > x₀, где x₀ — корень уравнения \( 3^{2x+1} + 2^{x+3} = 14 \). (Примерно x₀ ≈ 0.35).