8. Вычислите предел функции: \( \lim_{x\to\infty} \frac{2x^6 + x^5}{3x^5 - 2x^4 + x^6} \).

Решение:

Чтобы вычислить предел функции при \( x \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x^6 \).

\( \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^6}{x^6} + \frac{x^5}{x^6}}{\frac{3x^5}{x^6} - \frac{2x^4}{x^6} + \frac{x^6}{x^6}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + 1} \)

Теперь подставим \( \infty \) вместо \( x \). При \( x \to \infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \), \( \frac{3}{x} \to 0 \), \( \frac{2}{x^2} \to 0 \).

\( = \frac{2 + 0}{0 - 0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \)

Ответ: 2.