15. Площадь основания кучи опилок конической формы равна \( 9\pi \) см², а площадь боковой поверхности - \( 15\pi \) см². Найти объём.

Решение:

1. Найдем радиус основания конуса. Площадь основания \( S_{осн} = \pi R^2 \).

\( 9\pi = \pi R^2 \)

\( R^2 = 9 \)

\( R = 3 \) см.

2. Найдем образующую конуса \( L \). Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \pi R L \).

\( 15\pi = \pi \cdot 3 \cdot L \)

\( 15 = 3L \)

\( L = 5 \) см.

3. Найдем высоту конуса \( H \) по теореме Пифагора: \( R^2 + H^2 = L^2 \).

\( 3^2 + H^2 = 5^2 \)

\( 9 + H^2 = 25 \)

\( H^2 = 16 \)

\( H = 4 \) см.

4. Найдем объём конуса по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \).

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \) см³.

Ответ: \( 12\pi \) см³.