13. Вычислите предел функции: \( \lim_{x\to 5} \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 - 25} \).

Решение:

При подстановке \( x = 5 \) в данное выражение получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель: \( x^2 - 3x - 10 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 3x - 10 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). \( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \). \( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \). Значит, \( x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \).
• Знаменатель: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \) (разность квадратов).

Теперь перепишем предел:

\( \lim_{x\to 5} \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 5)(x + 5)} \)

Сократим \( (x - 5) \) (так как \( x \to 5 \), \( x \neq 5 \)):

\( \lim_{x\to 5} \frac{x + 2}{x + 5} \)

Теперь подставим \( x = 5 \):

\( \frac{5 + 2}{5 + 5} = \frac{7}{10} = 0.7 \)

Ответ: 0.7.