4. Вычислите производную функции, используя таблицу и правило дифференцирования произведения: \( \ln x \cdot (2x - x^2) \).

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = \ln x \) и \( v = 2x - x^2 \).

1. Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
• \( v' = (2x - x^2)' = 2 - 2x \)

2. Подставим в формулу:

\( (\ln x \cdot (2x - x^2))' = (\frac{1}{x}) \cdot (2x - x^2) + (\ln x) \cdot (2 - 2x) \)

\( = \frac{2x - x^2}{x} + (2 - 2x) \ln x \)

\( = 2 - x + (2 - 2x) \ln x \)

Ответ: \( 2 - x + (2 - 2x) \ln x \).