12. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы при помощи производной \( f(x) = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3 \).

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( f'(x) = \left(-\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3\right)' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2 \cdot 2x = -x^3 + 4x \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( -x^3 + 4x = 0 \)

\( x(-x^2 + 4) = 0 \)

\( x(2 - x)(2 + x) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 2 \).

3. Исследуем знаки производной на интервалах:

• На интервале \( (-\infty, -2) \), возьмем \( x = -3 \). \( f'(-3) = -(-3)^3 + 4(-3) = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-2, 0) \), возьмем \( x = -1 \). \( f'(-1) = -(-1)^3 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0, 2) \), возьмем \( x = 1 \). \( f'(1) = -(1)^3 + 4(1) = -1 + 4 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2, \infty) \), возьмем \( x = 3 \). \( f'(3) = -(3)^3 + 4(3) = -27 + 12 = -15 < 0 \). Функция убывает.

4. Определим точки экстремума:

• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с '+' на '-'. Это точка локального максимума. \( f(-2) = -\frac{1}{4}(-2)^4 + 2(-2)^2 - 3 = -\frac{1}{4}(16) + 2(4) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \).
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с '-' на '+'. Это точка локального минимума. \( f(0) = -\frac{1}{4}(0)^4 + 2(0)^2 - 3 = -3 \).
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '+' на '-'. Это точка локального максимума. \( f(2) = -\frac{1}{4}(2)^4 + 2(2)^2 - 3 = -\frac{1}{4}(16) + 2(4) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \). Функция убывает на \( [-2, 0] \) и \( [2, \infty) \). Локальные максимумы в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) (значение функции \( y=1 \)). Локальный минимум в точке \( x = 0 \) (значение функции \( y=-3 \)).