6. Из точки А вне плоскости \( \alpha \) проведен перпендикуляр АС равный 4см. Угол между перпендикуляром и наклонной, проведенной из той же точки равен 45°. Найти длину наклонной АВ.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACB \), где \( AC \) — перпендикуляр, \( AB \) — наклонная, \( \angle CAB = 45^{\circ} \), \( AC = 4 \) см.

В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\( \cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos(45^{\circ}) = \frac{4}{AB} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{AB} \)

\( AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \)

\( AB = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 4 \sqrt{2} \) см.