8. Синус острого угла равен. Найдите его косинус, тангенс и котангенс.

Решение:

Пусть острый угол равен \( \alpha \). Нам дано \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \).

1. Найдём косинус \( \cos \alpha \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( (\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Так как \( \alpha \) — острый угол, \( \cos \alpha > 0 \). Следовательно, \( \cos \alpha = √{\frac{8}{9}} = \frac{√{8}}{3} = \frac{2√{2}}{3} \).

2. Найдём тангенс \( \tan \alpha \):

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2√{2}}{3}} = \frac{1}{2√{2}} = \frac{√{2}}{4} \).

3. Найдём котангенс \( \cot \alpha \):

\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{√{2}}{4}} = \frac{4}{√{2}} = 2√{2} \).

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{2√{2}}{3} \), \( \tan \alpha = \frac{√{2}}{4} \), \( \cot \alpha = 2√{2} \).