4. На рисунке \(\angle EAX = 142^{\circ}\). Найдите \(\angle EPX\).

Решение:

На рисунке изображена окружность с центром в точке \( E \). \( AX \) — хорда, \( EP \) — радиус, \( PX \) — радиус. Треугольник \( EPX \) — равнобедренный.

\(\angle EAX\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( EX \).

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( EX \), равен \(\angle EAX = 142^{\circ}\).

Угол \(\angle EPX\) является центральным углом, опирающимся на дугу \( EX \). Следовательно, \(\angle EPX = \angle EAX = 142^{\circ}\).

В равнобедренном треугольнике \( EPX \) углы при основании \( EX \) равны.

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\(\angle EXP + \angle XEP + \angle EPX = 180^{\circ}\)

\( \angle EXP = \angle XEP \)

\( 2 \angle XEP + 142^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle XEP = 180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ} \)

\( \angle XEP = \frac{38^{\circ}}{2} = 19^{\circ} \).

Ответ: 142