8. Решите уравнение sinx - cos x = 1

Решение:

1. Умножим обе части уравнения на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
2. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
3. Используем формулу синуса разности \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).
4. \( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
5. \( \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
6. Общее решение этого уравнения: \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
7. Первый случай: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)
8. Второй случай: \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)
9. \( x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).