10. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса равна 2√2. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

\( S_{осн} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.

\( S_{бок} = \pi R l \), где \( l \) — образующая конуса.

Центральный угол \( \alpha = 120^{\circ} \) в развертке боковой поверхности связан с радиусом основания \( R \) и образующей \( l \) формулой: \( \alpha = \frac{R}{l} \u0002 360^{\circ} \).

\( 120^{\circ} = \frac{R}{l} \u0002 360^{\circ} \)

\( \frac{120}{360} = \frac{R}{l} \)

\( \frac{1}{3} = \frac{R}{l} \) => \( l = 3R \).

Высота конуса \( h = 2\sqrt{2} \).

Связь между радиусом основания, высотой и образующей: \( l^2 = R^2 + h^2 \).

Подставим \( l = 3R \) и \( h = 2\sqrt{2} \):

\( (3R)^2 = R^2 + (2\sqrt{2})^2 \)

\( 9R^2 = R^2 + 8 \)

\( 8R^2 = 8 \)

\( R^2 = 1 \)

\( R = 1 \) (радиус не может быть отрицательным).

Найдем образующую \( l \):

\( l = 3R = 3 \u0002 1 = 3 \).

Теперь вычислим площади:

\( S_{осн} = \pi R^2 = \pi \u0002 1^2 = \pi \).

\( S_{бок} = \pi R l = \pi \u0002 1 \u0002 3 = 3\pi \).

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 3\pi = 4\pi \).

Ответ: \( 4\pi \)