10. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса равна 2√2. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Центральный угол \( \alpha \) в развертке боковой поверхности конуса связан с радиусом основания \( R \) и образующей \( L \) формулой: \( \alpha = \frac{R}{L} \cdot 360^{\circ} \).
2. Нам дано \( \alpha = 120^{\circ} \), поэтому: \( 120^{\circ} = \frac{R}{L} \cdot 360^{\circ} \).
3. Отсюда \( \frac{R}{L} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \), что означает \( R = \frac{1}{3} L \) или \( L = 3R \).
4. Высота конуса \( H = 2\sqrt{2} \). Связь между высотой, радиусом и образующей конуса дается теоремой Пифагора: \( H^2 + R^2 = L^2 \).
5. Подставим \( L = 3R \) и \( H = 2\sqrt{2} \) в уравнение: \( (2\sqrt{2})^2 + R^2 = (3R)^2 \).
6. \( 8 + R^2 = 9R^2 \).
7. \( 8 = 8R^2 \).
8. \( R^2 = 1 \), значит \( R = 1 \) (так как радиус не может быть отрицательным).
9. Найдем образующую: \( L = 3R = 3 \cdot 1 = 3 \).
10. Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания \( S_{осн} \) и площади боковой поверхности \( S_{бок} \): \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).
11. Площадь основания: \( S_{осн} = \pi R^2 = \pi · 1^2 = \pi \).
12. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi R L = \pi · 1 · 3 = 3\pi \).
13. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = \pi + 3\pi = 4\pi \).

Ответ: \( 4\pi \)