7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см, если двугранный угол при ребре основания равен 45°.

Решение:

Обозначим сторону основания пирамиды как \( a = 6 \) см. Двугранный угол при ребре основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

Для нахождения высоты проведем апофему \( k \) — высоту боковой грани, проведенную к стороне основания. Эта апофема является катетом прямоугольного треугольника, в котором второй катет — высота пирамиды \( h \), а гипотенуза — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой ребра основания.

Двугранный угол \( \alpha \) — это угол между апофемой \( k \) и высотой \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( h \), половиной стороны основания (\( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см) и апофемой \( k \), этот угол равен \( 45^{\circ} \).

Связь между \( h \), \( \frac{a}{2} \) и \( \alpha \) выражается тангенсом:

\( \tan \alpha = \frac{h}{\frac{a}{2}} \)

\( \tan 45^{\circ} = \frac{h}{3} \)

Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), то \( 1 = \frac{h}{3} \), откуда \( h = 3 \) см.

Теперь вычислим объем:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} 36 \u0002 3 = 36 \) см³.

Ответ: 36 см³