6. Решите систему уравнений \( \begin{cases} \log_5 x + \log_5 y = 3 \\ \log_5 x - 2\log_5 y = 8 \end{cases} \)

Решение:

1. Обозначим \( a = \log_5 x \) и \( b = \log_5 y \). Система примет вид: \( \begin{cases} a + b = 3 \\ a - 2b = 8 \end{cases} \)
2. Вычтем второе уравнение из первого: \( (a + b) - (a - 2b) = 3 - 8 \)
3. \( 3b = -5 \)
4. \( b = -\frac{5}{3} \)
5. Подставим \( b \) в первое уравнение: \( a + (-\frac{5}{3}) = 3 \)
6. \( a = 3 + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} + \frac{5}{3} = \frac{14}{3} \)
7. Теперь найдём \( x \) и \( y \): \( \log_5 x = \frac{14}{3} \implies x = 5^{\frac{14}{3}} \)
8. \( \log_5 y = -\frac{5}{3} \implies y = 5^{-\frac{5}{3}} \)

Ответ: \( x = 5^{\frac{14}{3}}, y = 5^{-\frac{5}{3}} \)