8. Основания ВС и AD трапеции АBCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:

Дана трапеция \( ABCD \) с основаниями \( BC \parallel AD \).

По условию: \( BC = 5 \), \( AD = 20 \), \( BD = 10 \).

Рассмотрим треугольники \( \in \in \)CBD и \( \in \in \)BDA.

1. Углы \( \in \in \)CВD и \( \in \in \)ADB являются накрест лежащими при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Следовательно, \( \angle CBD = \angle ADB \).

2. Углы \( \in \in \)BCD и \( \in \in \)DAB не обязательно равны.

3. Углы \( \in \in \)BDC и \( \in \in \)ABD являются накрест лежащими при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Следовательно, \( \angle BDC = \angle ABD \).

4. Углы \( \in \in \)CBD и \( \in \in \)BDA не являются общими.

5. Углы \( \in \in \)BCD и \( \in \in \)BDA не являются общими.

6. Углы \( \in \in \)CDB и \( \in \in \)ADB не являются общими.

Признак подобия треугольников по двум углам:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Мы уже установили, что \( \angle CBD = \angle ADB \) (накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \)).

Также, углы \( \in \in \)BDC и \( \in \in \)ABD равны как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \).

Таким образом, треугольники \( \in \in \)CBD и \( \in \in \)BDA имеют два равных угла: \( \angle CBD = \angle ADB \) и \( \angle BDC = \angle ABD \).

Следовательно, по второму признаку подобия (по двум углам), треугольники \( \in \in \)CBD и \( \in \in \)BDA подобны.

Доказано.