8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: $$y = x^2, x=2, x=0, y=0$$

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 \), осью абсцисс \( y=0 \) и вертикальными прямыми \( x=0 \) и \( x=2 \).

Площадь такой фигуры можно найти с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( a = 0 \), \( b = 2 \), а функция \( f(x) = x^2 \).

1. Вычислим интеграл:



\( S = \int_{0}^{2} x^2 dx \)



2. Найдём первообразную для \( x^2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).


3. Применим формулу Ньютона-Лейбница:



\( S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна $$\frac{8}{3}$$.