9. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 9 см и гипотенузой 15 см вокруг известного катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета образуется конус.

Известно:

• Катет (высота конуса): \( h = 9 \) см.
• Гипотенуза (образующая конуса): \( l = 15 \) см.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам нужно знать радиус основания. Радиус основания конуса равен второму катету прямоугольного треугольника. Найдём его по теореме Пифагора:

\( r^2 + h^2 = l^2 \)

\( r^2 + 9^2 = 15^2 \)

\( r^2 + 81 = 225 \)

\( r^2 = 225 - 81 \)

\( r^2 = 144 \)

\( r = \sqrt{144} = 12 \) см.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания:

\( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \)

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \)

Площадь основания (круга): \( S_{осн} = \pi r^2 \)

Подставим найденные значения:

\( S_{бок} = \pi \cdot 12 \cdot 15 = 180\pi \) см².

\( S_{осн} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \) см².

\( S_{полн} = 180\pi + 144\pi = 324\pi \) см².

Ответ: площадь полной поверхности тела равна 324\( \pi \) см².