2. С помощью производной исследовать функцию $$f(x) = 0,5x^4 - 4x^2$$ на монотонность.

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (0.5x^4 - 4x^2)' = 0.5 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 2x^3 - 8x = 0 \)
3. Вынесем общий множитель $$2x$$: \( 2x(x^2 - 4) = 0 \)
4. Решим уравнение: \( 2x(x-2)(x+2) = 0 \). Критические точки: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 2$$, $$x_3 = -2$$.
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • На интервале $$(-\infty; -2)$$: возьмём $$x=-3$$. $$f'(-3) = 2(-3)^3 - 8(-3) = -54 + 24 = -30 < 0$$. Функция убывает.
   • На интервале $$(-2; 0)$$: возьмём $$x=-1$$. $$f'(-1) = 2(-1)^3 - 8(-1) = -2 + 8 = 6 > 0$$. Функция возрастает.
   • На интервале $$(0; 2)$$: возьмём $$x=1$$. $$f'(1) = 2(1)^3 - 8(1) = 2 - 8 = -6 < 0$$. Функция убывает.
   • На интервале $$(2; \infty)$$: возьмём $$x=3$$. $$f'(3) = 2(3)^3 - 8(3) = 54 - 24 = 30 > 0$$. Функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на интервалах $$(-\infty; -2]$$ и $$[0; 2]$$. Функция возрастает на интервалах $$[-2; 0]$$ и $$[2; \infty)$$.