1. Вычислить интеграл: a) $$\int_{-1}^2 2x^3 dx$$ b) $$\int_0^{\pi} \sin x dx$$

Решение:

a) Вычисление интеграла $$\int_{-1}^2 2x^3 dx$$:

1. Найдём первообразную для функции $$2x^3$$: \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования: \( \int_{-1}^2 2x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{2} \right]_{-1}^2 = \frac{2^4}{2} - \frac{(-1)^4}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = 8 - 0.5 = 7.5 \).

b) Вычисление интеграла $$\int_0^{\pi} \sin x dx$$:

1. Найдём первообразную для функции $$\sin x$$: \( F(x) = -\cos x \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования: \( \int_0^{\pi} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \).

Ответ: a) 7.5, b) 2.