4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: $$f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 4$$ на отрезке $$[-2; 0]$$

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 4x + 4)' = 3x^2 + 4x - 4 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 + 4x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
5. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
6. Из критических точек $$x_1 = \frac{2}{3}$$ и $$x_2 = -2$$, только $$x = -2$$ попадает на отрезок $$[-2; 0]$$.
7. Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
   • При $$x = -2$$: \( f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \).
   • При $$x = 0$$: \( f(0) = (0)^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 0 + 0 - 0 + 4 = 4 \).

Сравним полученные значения: наибольшее значение равно 12, наименьшее — 4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 12, наименьшее значение равно 4.