7. Решите уравнение: \( 2^{x} - 2^{x-2} = 48 \)

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( 2^{x-2} \) за скобки:
• \( 2^{x-2} \cdot (2^{x - (x-2)} - 1) = 48 \)
• \( 2^{x-2} \cdot (2^2 - 1) = 48 \)
• \( 2^{x-2} \cdot (4 - 1) = 48 \)
• \( 2^{x-2} \cdot 3 = 48 \)
2. Разделим обе части на 3:
• \( 2^{x-2} = \frac{48}{3} \)
• \( 2^{x-2} = 16 \)
3. Представим 16 как степень двойки: \( 16 = 2^4 \).
4. \( 2^{x-2} = 2^4 \)
5. Так как основания равны, приравняем показатели степеней:
• \( x - 2 = 4 \)
• \( x = 4 + 2 \)
• \( x = 6 \)

Ответ: \( x = 6 \).