13. Вычислите: \( \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{4x^2-64} \)

Решение:

1. При подстановке \( x = 4 \) в выражение, получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).
2. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и вынесем общий множитель.
• \( 4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16) = 4(x - 4)(x + 4) \)
3. Теперь подставим разложенный знаменатель в предел:
• \( \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{4(x - 4)(x + 4)} \)
4. Сократим \( (x-4) \) как при \( x \to 4 \), \( x-4
   e 0 \):
• \( \lim_{x \to 4} \frac{1}{4(x + 4)} \)
5. Теперь подставим \( x = 4 \):
• \( \frac{1}{4(4 + 4)} = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32} \)

Ответ: \( \frac{1}{32} \).