3. Найдите значение выражения: 25\(^\frac{1}{2}\) · 2\(^3 \cdot \log_{2} 125\)

Решение:

1. Вычислим \( 25^{\frac{1}{2}} \):
• \( 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
2. Рассмотрим выражение \( 2^{3 \cdot \log_{2} 125} \).
• Используем свойство степени \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \) или \( a^{m \cdot n} = (a^n)^m \).
• \( 2^{3 \cdot \log_{2} 125} = (2^{\log_{2} 125})^3 \)
• По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_{a} b} = b \), имеем: \( 2^{\log_{2} 125} = 125 \).
• Тогда \( (2^{\log_{2} 125})^3 = 125^3 \).
• \( 125^3 = (5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9 \).
3. Теперь перемножим полученные значения:
• \( 5 \cdot 125^3 = 5^1 \cdot 5^9 = 5^{1+9} = 5^{10} \).

Ответ: \( 5^{10} \).