12. Закон прямолинейного движения точки задан формулой \( S = \frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{3}t^3 - 2 \). Вычислите ее скорость в момент времени \( t = 1c \).

Решение:

1. Скорость точки — это первая производная от пройденного пути по времени: \( v(t) = S'(t) \).
2. Найдем производную от функции \( S(t) \):
• \( S'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{3}t^3 - 2\right) \)
• \( S'(t) = \frac{1}{5} \cdot 5t^{5-1} + \frac{1}{3} \cdot 3t^{3-1} - 0 \)
• \( S'(t) = t^4 + t^2 \)
3. Теперь найдем скорость в момент времени \( t = 1c \), подставив \( t=1 \) в выражение для скорости:
• \( v(1) = 1^4 + 1^2 \)
• \( v(1) = 1 + 1 \)
• \( v(1) = 2 \)

Ответ: 2 м/с.