7. Найдите угол между вектором а (4; -3; 5) и осью ОУ.

Решение:

Ось ОУ — это прямая, проходящая через начало координат и параллельная оси Y. Направляющий вектор оси ОУ — это единичный вектор \( \vec{j} \), который имеет координаты \( (0; 1; 0) \).

Дано вектор \( \vec{a} = (4; -3; 5) \).

Чтобы найти угол \( \alpha \) между вектором \( \vec{a} \) и осью ОУ (вектором \( \vec{j} \)), мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{j}|} \)

Найдем скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{j} \):

\( \vec{a} \cdot \vec{j} = (4)(0) + (-3)(1) + (5)(0) = 0 - 3 + 0 = -3 \)

Найдем модуль вектора \( \vec{a} \):

\( |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

Найдем модуль вектора \( \vec{j} \). Так как \( \vec{j} \) — единичный вектор, его модуль равен 1:

\( |\vec{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу косинуса:

\( \cos(\alpha) = \frac{-3}{5\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-3}{5\sqrt{2}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( \cos(\alpha) = \frac{-3\sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-3\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{-3\sqrt{2}}{10} \)

Угол \( \alpha \) равен арккосинусу этого значения:

\( \alpha = \arccos{\left( \frac{-3\sqrt{2}}{10} \right)} \)

Ответ: \( \arccos{\left( \frac{-3\sqrt{2}}{10} \right)} \)