4. б) Даны векторы ? (1; 3p; 2q), 6 (-(9p² +4q²); 3p; 2q), где р и q — некоторые постоянные. Покажите, что векторы а и с перпендикулярны для всех ненулевых значений р и q.

Решение:

Чтобы показать, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) перпендикулярны, нам нужно доказать, что их скалярное произведение равно нулю для любых ненулевых значений \( p \) и \( q \).

Даны векторы:

\( \vec{a} = (1; 3p; 2q) \)

\( \vec{c} = (-(9p^2 + 4q^2); 3p; 2q) \)

Найдем скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{c} \):

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (1) \times (-(9p^2 + 4q^2)) + (3p) \times (3p) + (2q) \times (2q) \)

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = -(9p^2 + 4q^2) + 9p^2 + 4q^2 \)

Раскроем скобки:

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = -9p^2 - 4q^2 + 9p^2 + 4q^2 \)

Сгруппируем подобные члены:

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (-9p^2 + 9p^2) + (-4q^2 + 4q^2) \)

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 + 0 \)

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) равно нулю независимо от значений \( p \) и \( q \) (при условии, что они существуют, так как векторы заданы). Это доказывает, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) перпендикулярны для всех ненулевых значений \( p \) и \( q \).

Ответ: Показано, что \( \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \), следовательно, векторы перпендикулярны.