3. а) Напишите уравнение сферы с центром в начале координат, если плоскость х=6 касается этой сферы.

Решение:

Уравнение сферы с центром в начале координат (0, 0, 0) имеет вид:

\( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \)

где R — радиус сферы.

Плоскость \( x=6 \) касается сферы. Это значит, что расстояние от центра сферы (начала координат) до плоскости равно радиусу сферы.

Расстояние от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \)

В нашем случае, точка — это начало координат \( (0, 0, 0) \). Плоскость \( x=6 \) можно записать как \( 1x + 0y + 0z - 6 = 0 \).

Тогда \( A=1, B=0, C=0, D=-6 \).

Подставляем в формулу расстояния:

\( R = d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{1}} = 6 \)

Итак, радиус сферы равен 6. Теперь подставим это значение в уравнение сферы:

\( x^2 + y^2 + z^2 = 6^2 \)

\( x^2 + y^2 + z^2 = 36 \)

Ответ: \( x^2 + y^2 + z^2 = 36 \)