3. б) Сфера задана уравнением х2 + y2 + z² -4x + 2y - 6z - 2=0. Найдите координаты центра сферы и ее радиус.

Решение:

Общее уравнение сферы имеет вид:

\( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \)

где \( (a, b, c) \) — координаты центра сферы, а R — радиус.

Нам дано уравнение:

\( x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0 \)

Чтобы привести его к стандартному виду, сгруппируем члены, относящиеся к каждой переменной, и дополним до полных квадратов:

\( (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 2 \)

Дополняем до полных квадратов:

Для \( x^2 - 4x \): добавляем \( (-4/2)^2 = (-2)^2 = 4 \)

Для \( y^2 + 2y \): добавляем \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \)

Для \( z^2 - 6z \): добавляем \( (-6/2)^2 = (-3)^2 = 9 \)

Добавляем эти значения к обеим частям уравнения:

\( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 6z + 9) = 2 + 4 + 1 + 9 \)

Теперь переписываем в виде квадратов:

\( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16 \)

Сравнивая с общим уравнением \( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \), мы видим, что:

\( a = 2 \)

\( b = -1 \)

\( c = 3 \)

\( R^2 = 16 \), следовательно \( R = \sqrt{16} = 4 \)

Ответ: Координаты центра сферы: \( (2; -1; 3) \). Радиус сферы: \( R = 4 \).