13. Решите систему: {2x - 3y = 6; 2x * 2^y = 8}

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 2x \cdot 2^y = 8 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения выразим \( 2x \): \( 2x = 6 + 3y \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( (6 + 3y) \cdot 2^y = 8 \).
3. Упростим уравнение: \( 3(2 + y) \cdot 2^y = 8 \).
4. Сравним полученное уравнение с тем, что получилось при подстановке простых значений.
5. Попробуем \( y = 0 \): \( 3(2+0) \cdot 2^0 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \neq 8 \).
6. Попробуем \( y = 1 \): \( 3(2+1) \cdot 2^1 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 \neq 8 \).
7. Попробуем \( y = -1 \): \( 3(2-1) \cdot 2^{-1} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 \neq 8 \).
8. Попробуем \( y = 2 \): \( 3(2+2) \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48 \neq 8 \).
9. При подстановке \( y=0 \) в уравнение \( 2x = 6 + 3y \) получим \( 2x = 6 \), \( x=3 \). Проверим эту пару в исходной системе: \( 2(3) - 3(0) = 6 \) (верно), \( 2(3) \cdot 2^0 = 6 \cdot 1 = 6 \neq 8 \).
10. При подстановке \( y=1 \) в уравнение \( 2x = 6 + 3y \) получим \( 2x = 6 + 3(1) = 9 \), \( x=4.5 \). Проверим эту пару в исходной системе: \( 2(4.5) - 3(1) = 9 - 3 = 6 \) (верно), \( 2(4.5) \cdot 2^1 = 9 \cdot 2 = 18 \neq 8 \).
11. Есть подозрение, что в условии задачи ошибка, так как простые целочисленные решения не подходят.
12. Перепишем второе уравнение: \( 2x \cdot 2^y = 8 \) → \( x \cdot 2^y = 4 \) → \( x = \frac{4}{2^y} \).
13. Подставим \( x \) из второго уравнения в первое: \( 2 \left( \frac{4}{2^y} \right) - 3y = 6 \)
14. \( \frac{8}{2^y} - 3y = 6 \)
15. \( 8 \cdot 2^{-y} - 3y = 6 \)
16. При \( y=0 \), \( 8 \cdot 1 - 0 = 8 \neq 6 \).
17. При \( y=1 \), \( 8 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 4 - 3 = 1 \neq 6 \).
18. При \( y=-1 \), \( 8 \cdot 2 - 3(-1) = 16 + 3 = 19 \neq 6 \).
19. При \( y=-2 \), \( 8 \cdot 4 - 3(-2) = 32 + 6 = 38 \neq 6 \).
20. Если предположить, что второе уравнение \( 2^x \cdot 2^y = 8 \), тогда \( 2^{x+y} = 2^3 \) → \( x+y=3 \).
21. Из первого уравнения \( 2x - 3y = 6 \).
22. \( x = 3 - y \).
23. \( 2(3-y) - 3y = 6 \)
24. \( 6 - 2y - 3y = 6 \)
25. \( -5y = 0 \)
26. \( y = 0 \).
27. \( x = 3 - 0 = 3 \).
28. Проверим \( x=3, y=0 \) в исходной системе с этим предположением: \( 2(3) - 3(0) = 6 \) (верно). \( 2^3 \cdot 2^0 = 8 \cdot 1 = 8 \) (верно).

Ответ: \( x = 3, y = 0 \) (при условии, что второе уравнение \( 2^x \cdot 2^y = 8 \)).