5. Тип 17 № 311457 Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, \( ∠ BCA = 30^° \), \( ∠ ACD = 105^° \).

Найти: меньший угол трапеции.

Так как ABCD — равнобедренная трапеция, \( AD ∥ BC \) и \( AB = CD \).

Угол \( ∠ CAD \) равен \( ∠ BCA = 30^° \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Угол \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD = 30^° + 105^° = 135^° \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании BC равны: \( ∠ ABC = ∠ BCD = 135^° \).

Углы при основании AD равны: \( ∠ BAD = ∠ ADC \).

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

\( ∠ BAD + ∠ ABC = 180^° \)

\( ∠ BAD + 135^° = 180^° \)

\( ∠ BAD = 180^° - 135^° = 45^° \).

Значит, \( ∠ ADC = 45^° \).

Углы трапеции: 45°, 135°, 135°, 45°.

Меньший угол трапеции равен 45°.

Ответ: 45°.