1. Тип 17 № 193 Найдите угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть \( ∠ BAC = 50^° \) и \( ∠ BCA = 30^° \). Так как \( AB ∥ CD \), то \( ∠ ACD = ∠ BAC = 50^° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). В трапеции ABCD, \( AD ∥ BC \). Поэтому \( ∠ CAD = ∠ ACB = 30^° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

Угол \( ∠ ADC \) является углом при основании трапеции. В треугольнике ABC, \( ∠ ABC = 180^° - ∠ BAC - ∠ BCA = 180^° - 50^° - 30^° = 100^° \).

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому \( ∠ ADC = ∠ BCD \) и \( ∠ BAD = ∠ ABC \).

Угол \( ∠ ADC = ∠ ACD + ∠ CAD = 50^° + 30^° = 80^° \).

Ответ: 80°.