4. Тип 17 № 311455 Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение:

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, \( ∠ CAD = 30^° \), \( ∠ ACD = 80^° \).

Найти: \( ∠ ABC \).

Так как ABCD — равнобедренная трапеция, то \( AD ∥ BC \) и \( AB = CD \).

Угол \( ∠ ACB \) равен \( ∠ CAD = 30^° \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

В треугольнике ACD, \( ∠ ADC = 180^° - ∠ CAD - ∠ ACD = 180^° - 30^° - 80^° = 70^° \).

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны: \( ∠ BAD = ∠ ADC = 70^° \).

Углы при основании BC также равны: \( ∠ ABC = ∠ BCD \).

Мы знаем, что \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD = 30^° + 80^° = 110^° \).

Следовательно, \( ∠ ABC = ∠ BCD = 110^° \).

Ответ: 110°.