5. Найдите значение выражения \( \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} \).

Решение:

Чтобы решить этот пример, представим числа в числителе и знаменателе в виде простых множителей.

1. Разложим 24 на простые множители: \( 24 = 3 \times 8 = 3 \times 2^3 \).
2. Теперь подставим это в числитель: \( 24^4 = (3 \times 2^3)^4 = 3^4 \times (2^3)^4 = 3^4 \times 2^{12} \).
3. Знаменатель уже содержит простые множители: \( 3^2 \times 8^3 = 3^2 \times (2^3)^3 = 3^2 \times 2^9 \).
4. Теперь запишем дробь с разложенными множителями: \( \frac{3^4 \times 2^{12}}{3^2 \times 2^9} \).
5. Упростим дробь, вычитая показатели степеней с одинаковыми основаниями: \( 3^{4-2} \times 2^{12-9} = 3^2 \times 2^3 \).
6. Вычислим результат: \( 3^2 = 9 \) и \( 2^3 = 8 \).
7. Перемножаем: \( 9 \times 8 = 72 \).

Ответ: 72