42. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x² + 2х в точке x₀ = 2

Решение:

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 2 \):

\( f(2) = 3(2)^2 + 2(2) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 \).

2. Найдем производную функции:

\( f'(x) = (3x^2 + 2x)' = 6x + 2 \).

3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 2 \):

\( f'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \).

4. Уравнение касательной имеет вид \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

Подставим найденные значения:

\( y - 16 = 14(x - 2) \)

\( y - 16 = 14x - 28 \)

\( y = 14x - 12 \).

Ответ: y = 14x - 12