4. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро - 16 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Обозначим сторону основания \(a = 12\) см, а боковое ребро \(l = 16\) см. Пусть \(h\) — высота пирамиды, \(O\) — центр квадрата основания, \(A\) — вершина пирамиды, \(B\) — одна из вершин основания.

1. Диагональ основания квадрата \(d\) найдём по теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + a^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\).
2. \(d = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}\) см.
3. Расстояние от центра основания до вершины квадрата (половина диагонали) равно \(OB = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\), где \(AO = h\) (высота пирамиды), \(OB = 6\sqrt{2}\) (половина диагонали основания), \(AB = l = 16\) (боковое ребро).
5. По теореме Пифагора: \(AO^2 + OB^2 = AB^2\).
6. \(h^2 + (6\sqrt{2})^2 = 16^2\).
7. \(h^2 + (36 \cdot 2) = 256\).
8. \(h^2 + 72 = 256\).
9. \(h^2 = 256 - 72 = 184\).
10. \(h = \sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{46}\) см.